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Jean C. Baudet

Pour une epistemologie des mathematiques

24 Décembre 2014 , Rédigé par jeanbaudet.over-blog.com Publié dans #Philosophie

Mes recherches épistémologiques, résumées dans trois ouvrages (1), m'ont conduit à reconnaître que le progrès mathématique résulte de l'effet de deux fonctions mentales, la généralisation et la négation. L'on pourrait certes taxer cette proposition de psychologisme, mais je vois mal comment un progrès intellectuel ne viendrait pas de l'usage de l'intelligence. Celle-ci étant conçue dans son acception la plus large de "facultés mentales", comprenant bien sûr la mémoire et l'imagination. Qu'il existe un "progrès mathématique" est le point d'évidence d'où doit partir la réflexion épistémologique, et toute l'histoire des nombres (arithmétique) et des formes (géométrie) montre sans possibilité sérieuse de contestation que le savoir mathématique s'est construit historiquement, et qu'il s'est construit à partir de concepts empiriques très simples, comme "un (isolé) et deux (accouplé)", ou comme "droit et courbé". On peut avec profit doubler l'étude de l'histoire des mathématiques par celle des acquisitions mathématiques chez l'enfant (par exemple les beaux travaux de Jean Piaget : La naissance du symbole chez l'enfant, 1945), ce qui confirme que l'esprit humain, dans son développement individuel comme dans son histoire, passe du simple au compliqué. Cela se confirme d'ailleurs dans l'histoire des autres systèmes de pensée (physique, biologie, philosophie, et même dans la "pensée religieuse", la théologie chrétienne d'aujourd'hui étant plus complexe que celle du concile de Nicée en 325).

La généralisation est le processus mental par lequel on passe de A à B, B étant plus "général" que A. Jean Pelseneer (Esquisse du progrès de la pensée mathématique, 1935) a bien montré que chez les primitifs la numération a commencé par "un, deux, beaucoup", les peuplades les plus primitives ne disposant que d'un vocabulaire restreint pour la numération. La généralisation est une continuation, une marche en avant : ayant 1 puis 2, je découvre 3 en continuant dans la même direction, et ainsi se construit l'ensemble N.

La négation est le processus mental par lequel on passe de A à non-A, par exemple quand on considère un objet "droit" puis un objet non-droit, c'est-à-dire "courbe". Contrairement à la généralisation qui est une continuation, la négation est un retour.

Les grandes étapes de la mathématique sont ainsi des négations (les nombres négatifs Z par rapport à N, les géométries non-euclidiennes par rapport à la géométrie de l'espace ordinaire...) ou des généralisations (de l'espace tridimensionnel à l'espace à n dimensions, des nombres aux vecteurs puis des vecteurs aux tenseurs...).

Je ne vois pas d'inconvénient à qualifier cette épistémologie de "hégélienne" (négation de la thèse à l'antithèse, et généralisation qui mène à la synthèse), voire même de "aristotélicienne" (on sait que le Stagirite a centré toute sa logique sur l'opération mentale de négation).

Mais pourquoi l'esprit humain est-il capable de généraliser (de marcher toujours plus loin) et de nier (de revenir sur ses pas) ? Et surtout, pourquoi, sur des milliards d'individus, n'y en a-t-il que si peu s'étant effectivement servi de leurs facultés de généralisation et de négation ?

Psychologisme ? En tout cas, le philosophe doit prendre en compte que l'intelligence, si elle est bien répandue, est rarement bien utilisée.

(1) JCB : Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques, Vuibert, Paris, 2002.

JCB : Mathématique et vérité, L'Harmattan, Paris, 2005.

JCB : Histoire des mathématiques, Vuibert, 2014.

Une vidéo de l'auteur à la librairie Filigranes, à Bruxelles :

https://www.youtube.com/watch?v=HZNSrBg25XQ

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