Philosophie 008 - La mathématique

Les Anciens distinguaient l'étude des nombres (l'arithmétique) et celle des figures (la géométrie), et les Grecs appelaient ces deux disciplines "les" mathématiques. Toutefois, Pythagore s'est rendu compte qu'il existait de "profondes" relations entre les figures ou formes et les nombres. Ses successeurs, et pendant longtemps (jusqu'au XXe siècle), restèrent fidèles toutefois, notamment dans l'enseignement, à cette division, et l'on fit séparément de l'arithmétique (devenue algèbre avec Diophante au IIIe siècle) et de la géométrie.

D'après Gilles Deleuze (et d'autres), la philosophie " est l'art de former, d'inventer, de fabriquer des concepts " (1). Je peux généraliser cette définition. La philosophie est l'art de former des philosophèmes, la poésie l'art de former des poèmes, les religions des anathèmes, la science des théorèmes. Mais je me contenterai d'examiner la notion de concept (ou philosophème) pour transformer cette notion en concept. Le concept de concept est au coeur de la pratique philosophique.

Un concept n'est rien d'autre qu'une idée longuement analysée, c'est-à-dire un contenu de la conscience décomposé en ses constituants ultimes (ou supposés tels) par les ressources de cette conscience, ressources dont l'ensemble forme la "raison" (2). Tout concept, désigné par un terme, peut être défini en compréhension et en extension. Comme les idées viennent dans la conscience de " quelque part ", le processus de conceptualisation débute avec la pénétration d'une idée dans la conscience : je vois un oiseau dans le ciel, et j'ai le point de départ pour élaborer le concept "oiseau". De quoi déjà se poser beaucoup de questions. Mais je voudrais me concentrer sur le concept de concept, et je dois reconnaître que la conceptualisation (c'est peut-être ça, penser ?) est un vécu. Passer de l'idée initiale, brute, vague, au concept épuré prend un certain temps, une tranche de vie. Pour étudier ce passage, il est indiqué de considérer d'abord des concepts simples, et c'est pourquoi je vais examiner le concept de nombre.

L'idée de nombre n'est pas innée - y a-t-il d'ailleurs des idées vraiment innées ? Même la conscience de soi n'est pas immédiate. Comment les idées qui aboutiront au concept de nombre entrent-elles dans la conscience ? Il me semble que l'on peut difficilement nier que c'est grâce à toute une série d'expériences du moi avec son environnement : observations et manipulations. Jean Piaget a étudié cette question, fondant une " épistémologie génétique " qui confirme une idée assez simple, proche de l'évidence de l'observation naïve : l'enfant forme le concept de "un", puis de "deux", et ainsi de suite en manipulant des objets de la réalité matérielle : un nez mais deux mains, puis une main ici et l'autre main là, d'où " un et un font deux ", et ainsi de suite. Il est tout à fait significatif que des ethnographes ont décrit des peuplades primitives dont la langue ne connaît que les nombres "un", "deux" et "beaucoup".

Il ne faut pas se laisser décourager par la simplicité presque désolante de ces débuts : ce sont bien les débuts de la conceptualisation, que l'on peut tenter de reconstruire à partir de l'introspection, des données de la psychologie de l'enfant et de l'observation ethnographique des peuples primitifs. C'est en regardant, en touchant, en manipulant les objets qui l'entourent que l'homme a construit l'extraordinaire édifice des nombres. Ce n'est pas du simplisme que de découvrir que les bases d'une construction sont plus simples que la construction elle-même !

Les nombres manifestèrent dès les premières réflexions des propriétés remarquables, qui s'imposent à l'esprit humain. Je suis libre de penser un oiseau avec trois ailes ou un homme à la peau verte, mais je ne suis pas libre de penser par exemple " 2 + 3 = 6 " ! La suite des nombres m'est imposée par " les choses ", elle est venue de l'extérieur de moi, et ne constitue donc pas une libre construction de l'esprit humain. Cela ne signifie cependant pas que les nombres "existent", présents dans je ne sais quel monde des idées, comme le croyait Platon (3). L'étude des nombres a conduit à comprendre qu'ils sont la synthèse de deux concepts plus "profonds", l'ordinal et le cardinal. Un nombre peut servir à situer un objet dans une suite : le premier (noté "a"), le septième ("g"), etc. Un nombre peut aussi servir à compter les objets dans une collection : un (noté "1") nez au milieu du visage, sept ("7") jours dans la semaine... Rien de m'oblige à utiliser le même symbole (ou "chiffre") pour désigner l'ordinal et le cardinal qui se correspondent. Mais il est très commode d'écrire 1 = a, 7 = g, et de choisir un seul signe. Il en résulte une certaine ambiguïté, qui généralement n'est pas gênante : le chiffre 5 peut aussi bien désigner la cinquième position que les cinq doigts de la main. Cette distinction montre la double origine empirique du nombre. L'homme a découvert l'ordinal en faisant des classements, en mettant des ensembles "en ordre". Il a découvert le cardinal en faisant des comptages, en faisant "le compte" des ensembles. Et tout cela conduit à une donnée qui s'impose à moi, qui limite ma liberté de conceptualisation : la coïncidence entre l'ordinal et le cardinal. On peut aussi bien dire que l'ordinalité et la cardinalité sont deux propriétés du concept "nombre".

L'étude de l'aspect cardinal des nombres conduit à de nouveaux concepts, dont le principal est l'addition. Je ne peux pas ajouter un ordinal à un ordinal. L'expression "troisième + neuvième" n'a aucune signification empirique. Mais je sais bien qu'en ajoutant 3 olives à 9 olives j'en obtiens 12.

A la fin du XIXe siècle, des mathématiciens comme Gottlob Frege et Giuseppe Peano vont pousser très loin l'analyse du concept de nombre et des concepts qui en dérivent. Leurs successeurs vont alors découvrir que de nombreux objets mathématiques (numériques, mais aussi géométriques) sont caractérisés par des structures "topologiques", c'est-à-dire par des propriétés liées au concept d'ordre, d'ordinal, et/ou par des structures "algébriques", qui sont des propriétés liées au concept d'addition, de cardinal. D'autres mathématiciens, comme Georg Cantor, vont établir que l'étude approfondie du concept de nombre implique la définition du concept "ensemble". En effet, du fait des "structures", les nombres ne peuvent pas être pensés isolément : si je pense à 4, je pense immédiatement aux multiples de 4, qui forment un ensemble (4, 8, 12, 16...), et si je pense à 16, je suis conduit à penser à ses successeurs, qui forment aussi un ensemble (17, 18, 19...). Grâce à la théorie des ensembles, "les" mathématiques vont devenir "la" mathématique, dont les deux disciplines traditionnelles (arithmétique et géométrie) vont voir leur objet devenir plus vaste et plus abstrait. La mathématique est formée par la topologie, qui bien sûr étudie les structures topologiques, et par l'algèbre (structures algébriques).

Une structure algébrique est par exemple la commutativité de l'addition, qui vaut pour tous les couples de nombres entiers x et y, quels qu'ils soient :

si x + y = a et si y + x = b, alors a = b.

Une structure topologique est par exemple la transitivité de l'ordre :

si x < y et si y < z, alors x < z.

Le philosophe - qui recherche la voie du bonheur de l'homme jeté dans un monde d'une diversité extrêmement complexe - va devoir analyser des concepts bien plus difficiles que celui de nombre. On voit mal comment il y parviendrait s'il ne parvenait pas à comprendre d'abord un des concepts les plus simples, celui de nombre !

Nous retiendrons que l'analyse du concept de nombre a conduit à découvrir que les nombres sont des objets complexes de la pensée, formés à partir de structures topologiques et algébriques, dont l'importance a été révélée par la théorie des ensembles. Le concept d'ensemble devient un concept plus "simple", plus "radical" que celui de nombre.

(1) G. Deleuze & F. Guattari : Qu'est-ce que la philosophie, Minuit, Paris, 1991, p. 8.

(2) Le "logos" des Anciens ; les instances de l'esprit chez Kant (die Sinnlichkeit, der Verstand, die Vernunft) ; ou encore les réseaux neuronaux et leurs connexions synaptiques de la biologie contemporaine.

(3) J.C. Baudet : Mathématique et vérité, L'Harmattan, Paris, 2005.

Comments

[mido]

intéressant.