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Jean C. Baudet

Articles avec #mathematiques tag

Mathematique et verite

15 Février 2017 , Rédigé par jeanbaudet.over-blog.com Publié dans #Epistémologie, #Mathématiques

Les mathématiques, depuis Pythagore, sont le modèle de la rationalité et, depuis Galilée et Descartes, sont devenues l’outil (le langage) de la pensée scientifique. On peut même dire, de manière un tantinet provocante, que la philosophie n’a comme moyen de se développer et de s’exprimer que les mots, alors que la science dispose en outre des nombres (arithmétique) et des figures (géométrie). Depuis les beaux travaux de Russell, de Whitehead, de Gödel, de Nicolas Bourbaki, on dit d’ailleurs « la mathématique », au singulier, pour affirmer l’unité profonde des différentes branches mathématiques, qui trouvent toutes leurs racines dans la théorie des ensembles de Boole, de Dedekind et de Cantor.

On voit donc immédiatement la nécessité, pour le philosophe, d’élucider la nature profonde du langage mathématique, dans la mesure où celui-ci a contribué à construire les seules propositions vérifiables (et en partie déjà vérifiées par l’expérience) que possède l’Humanité. D’où la question cruciale de l’épistémologie : comment se fait-il que la mathématique, qui semble être une production de l’esprit humain, s’adapte si bien à la description prédictive du monde matériel ? D’où vient cette mystérieuse adéquation entre l’esprit et la matière par le truchement du nombre ? Et, plus radicalement encore : qu’est-ce que les nombres ? Existent-ils indépendamment du monde sensible dans un monde intelligible, comme le pensait Platon ? Ou sont-ils des créations mentales : logicisme (Frege), formalisme (Hilbert), intuitionnisme (Brouwer), structuralisme (Bourbaki) ?...

J’ai tenté d’apporter une contribution à cette question cruciale des « fondements des mathématiques » (qui conduit à la question de la vérité) dans un livre paru, il y a quelques années, aux éditions L’Harmattan, à Paris : Mathématique et vérité. Une philosophie du nombre. Voir aussi mon Histoire des mathématiques (Vuibert, Paris).

Pour info :

Librairie Filigranes (Bruxelles), extrait d'une conférence sur l'histoire des sciences :

www.youtube.com/watch?v=HZNSrBg25XQ

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Histoire des mathématiques

27 Septembre 2015 , Rédigé par jeanbaudet.over-blog.com Publié dans #Mathématiques, #Histoire

Histoire des mathématiques

En 2002, j'ai publié, chez Vuibert (Paris), un "Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques" de 336 pages. Après plusieurs nouveaux tirages, l'éditeur et moi-même avons décidé de publier une refonte complète de cet ouvrage, qui est disponible désormais sous le titre simplifié "Histoire des mathématiques" (352 pages). L'histoire de la connaissance des formes (géométrie) et des nombres (arithmétique) est celle des plus admirables, des plus enthousiasmantes, des plus étonnantes réalisations de l'esprit humain. Des plus décisives et importantes aussi, car les mathématiques sont la source originaire de la science et de la technologie, dont l'impact sur l'Humanité est considérable.

J'ai ainsi étudié l'invention de la Logique par Aristote, de l'Axiomatique par Euclide, de l'Algèbre par Diophante, de la Géométrie analytique par Descartes, du Calcul différentiel par Newton, du Calcul intégral par Leibniz, de la Théorie des groupes par Galois, de la Géométrie non euclidienne par Lobatchevski, de la Géométrie à n dimensions par Cayley, des Quaternions et des Vecteurs par Hamilton, de la Topologie par Listing, de la Logistique par Boole et Frege, de la Théorie des ensembles par Cantor et Dedekind...

Prenant conscience de la profondeur et de la fécondité de ces constructions intellectuelles éblouissantes, nous sommes consternés de découvrir, notamment dans les propos de certains politiciens, à quel point les rudiments les plus élémentaires de l'arithmétique sont ignorés, non seulement par les masses populaires, mais également par certains qui ne doutent pas d'appartenir à une "élite". Ils ne savent pas encore, après deux mille cinq cents ans de progrès mathématique, que ce que l'on a donné à l'Un, on ne peut plus le donner à l'Autre !

Une vidéo de l'auteur à la librairie Filigranes, à Bruxelles :

https://www.youtube.com/watch?v=HZNSrBg25XQ

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Une histoire des mathématiques

31 Mars 2015 , Rédigé par jeanbaudet.over-blog.com Publié dans #Histoire, #Mathématiques, #Epistémologie

Une histoire des mathématiques

Dans mon livre Histoire des mathématiques, récemment paru (Vuibert, Paris), j'observe le développement de la pensée mathématique, depuis les premières bases fondées par les Grecs jusqu'aux plus extrêmes généralisations du XXème siècle. Les Grecs ont inventé, successivement, la Géométrie démonstrative (Thalès), l'Arithmétique spéculative (Pythagore), la Logique (Aristote), l'Axiomatique (Euclide), la Trigonométrie (Hipparque), l'Algèbre (Diophante), mais ont "raté" la fusion de la Géométrie et de l'Algèbre, qui devra attendre Descartes et son invention de la Géométrie analytique. Ils n'ont pas su tirer parti des découvertes d'Archimède qui auraient dû les mener à l'Analyse infinitésimale, qui ne sera établie qu'au XVIIème siècle avec les travaux de Wallis, de Newton et de Leibniz. Au XXème siècle, le groupe français Bourbaki redéfinira la Mathématique comme l'étude des structures, qui peuvent être topologiques ou algébriques.

Cette étude conduit à tenter une épistémologie, dont j'ai esquissé le fondement dans mon livre Mathématique et vérité (L'Harmattan, Paris). En bref, on constatera que le progrès mathématique fonctionne par généralisation (des nombres entiers aux nombres fractionnaires, des nombres aux vecteurs puis aux tenseurs, etc.), celle-ci étant basée sur l'expérience commune de la marche (en avant ou en arrière). Ainsi l'analyse de l'esprit humain rencontre une dualité radicale, celle du plus (aller plus loin, par exemple passer de 2 à 3 dimensions) et du moins (passer des nombres "naturels" aux nombres négatifs).

La Mathématique est le noyau dur de la STI, Science-Technique-Industrie, et pourrait bien être la racine de la Civilisation et l'instrument d'analyse de l'Être. Mais je dois poursuivre ma recherche pour tenter de repérer s'il n'y a pas "autre chose"...

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Sur l'epistemologie des mathematiques

24 Décembre 2014 , Rédigé par jeanbaudet.over-blog.com Publié dans #Philosophie, #Mathématiques

Mes recherches épistémologiques, résumées dans trois ouvrages (1), m'ont conduit à reconnaître que le progrès mathématique résulte de l'effet de deux fonctions mentales, la généralisation et la négation. L'on pourrait certes taxer cette proposition de psychologisme, mais je vois mal comment un progrès intellectuel ne viendrait pas de l'usage de l'intelligence. Celle-ci étant conçue dans son acception la plus large de "facultés mentales", comprenant bien sûr la mémoire et l'imagination. Qu'il existe un "progrès mathématique" est le point d'évidence d'où doit partir la réflexion épistémologique, et toute l'histoire des nombres (arithmétique) et des formes (géométrie) montre sans possibilité sérieuse de contestation que le savoir mathématique s'est construit historiquement, et qu'il s'est construit à partir de concepts empiriques très simples, comme "un (isolé) et deux (accouplé)", ou comme "droit et courbé". On peut avec profit doubler l'étude de l'histoire des mathématiques par celle des acquisitions mathématiques chez l'enfant (par exemple les beaux travaux de Jean Piaget : La naissance du symbole chez l'enfant, 1945), ce qui confirme que l'esprit humain, dans son développement individuel comme dans son histoire, passe du simple au compliqué. Cela se confirme d'ailleurs dans l'histoire des autres systèmes de pensée (physique, biologie, philosophie, et même dans la "pensée religieuse", la théologie chrétienne d'aujourd'hui étant plus complexe que celle du concile de Nicée en 325).

La généralisation est le processus mental par lequel on passe de A à B, B étant plus "général" que A. Jean Pelseneer (Esquisse du progrès de la pensée mathématique, 1935) a bien montré que chez les primitifs la numération a commencé par "un, deux, beaucoup", les peuplades les plus primitives ne disposant que d'un vocabulaire restreint pour la numération. La généralisation est une continuation, une marche en avant : ayant 1 puis 2, je découvre 3 en continuant dans la même direction, et ainsi se construit l'ensemble N.

La négation est le processus mental par lequel on passe de A à non-A, par exemple quand on considère un objet "droit" puis un objet non-droit, c'est-à-dire "courbe". Contrairement à la généralisation qui est une continuation, la négation est un retour.

Les grandes étapes de la mathématique sont ainsi des négations (les nombres négatifs Z par rapport à N, les géométries non-euclidiennes par rapport à la géométrie de l'espace ordinaire...) ou des généralisations (de l'espace tridimensionnel à l'espace à n dimensions, des nombres aux vecteurs puis des vecteurs aux tenseurs...).

Je ne vois pas d'inconvénient à qualifier cette épistémologie de "hégélienne" (négation de la thèse à l'antithèse, et généralisation qui mène à la synthèse), voire même de "aristotélicienne" (on sait que le Stagirite a centré toute sa logique sur l'opération mentale de négation).

Mais pourquoi l'esprit humain est-il capable de généraliser (de marcher toujours plus loin) et de nier (de revenir sur ses pas) ? Et surtout, pourquoi, sur des milliards d'individus, n'y en a-t-il que si peu s'étant effectivement servi de leurs facultés de généralisation et de négation ?

Psychologisme ? En tout cas, le philosophe doit prendre en compte que l'intelligence, si elle est bien répandue, est rarement bien utilisée.

(1) JCB : Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques, Vuibert, Paris, 2002.

JCB : Mathématique et vérité, L'Harmattan, Paris, 2005.

JCB : Histoire des mathématiques, Vuibert, 2014.

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Mathematique et poesie

16 Novembre 2014 , Rédigé par jeanbaudet.over-blog.com Publié dans #Mathématiques, #Poésie

Bachelard écrivit quelque part (je pense que c'est dans "La psychanalyse du feu") que "les axes de la science et de la poésie sont inverses". Ce n'est en réalité qu'un lieu commun, car les potaches les plus balourds savent déjà distinguer, dans les cours de récréation des collèges, les "matheux" et les "lettreux". Mais cette évidence mérite une réflexion, d'autant plus qu'elle correspond à une constatation remontant à l'Antiquité (Platon écrivant sur la porte de son Académie : "nul n'entre ici s'il n'est géomètre"), tout récemment brillamment confirmée par les techniques les plus avancées de la neurologie cognitiviste.

Cette opposition entre intellectualité et émotivité, entre travail et loisir, entre logos et mythos, correspond à la coupure épistémologique qui permet de distinguer comme les deux éléments d'une opposition radicale - une scission dans la conscience -, dans l'ensemble des productions intellectuelles de l'Humanité, la STI (science-technique-industrie) et la non-STI, ou Culture (art, littérature, idéologies).

En langage ordinaire : la STI correspond à l'être (au donné que la conscience rencontre) et la Culture correspond au vouloir-être, à l'espoir (l'élan que subit l'être humain pour transformer fantasmatiquement l'être donné en un être désiré). C'est la dialectique des réalités qui sont et des valeurs que l'on voudrait qui soient.

Il est facile de découvrir (notamment par l'étude de l'histoire de la science) que le centre actif de la STI est le mathématique (objet des mathématiques), prolongation systématisée des déterminations de la logique (construite historiquement par Aristote et ses prédécesseurs comme Parménide), qui est un ensemble de règles de cohérence et d'adéquation de l'exprimé par le langage (concrétisation intersubjective de l'idéation) et du donné de l'observation. C'est parce que la logique vient de l'empirie que la logique est adaptée à l'empirique. L'observation naïve (avant toute démarche théorisante) fournit des modèles de raisonnement qui par la répétition et l'analyse s'inscrivent dans les "facultés mentales" comme "lois de la pensée", magistralement énoncées par Aristote et confirmées par les Modernes (Frege, Russel, Gödel, etc.). C'est parce que le logos est une abstraction de la physis que le logos parvient de manière si parfaite à décrire à l'avance (prédictibilité) le monde phénoménal. D'où l'efficacité époustouflante des équations de Newton (aérospatial), d'Einstein (nucléaire), de Schrödinger (chimie fine et biologie moléculaire).

Il est aussi facile d'apercevoir que le centre actif, l'élément commun à toutes les manifestations de la Culture est le poétique, c'est-à-dire ce quelque chose, irréductible peut-être au mathématique (voir "nombre d'or" et autres spéculations esthétiques de ce genre), capable d'émouvoir, et qui est commun à des expériences aussi variées qu'un quatuor de Beethoven, une toile de Delacroix, un sonnet de Ronsard... Le poétique d'un poème, c'est "ce qui reste quand on a oublié" la versification, la rime et la raison, et qui est l'impression, profondément ressentie, d'être emporté là où "tout n'est qu'ordre et beauté". Le poétique est le coeur palpitant et indicible de l'esthétique.

Mathématique et poésie ne s'opposent peut-être pas (les parallèles se rejoignent à l'infini) quand, avec Heidegger, la Haute Pensée, la plus profonde et la plus exigeante, en vient à situer l'Être dans le Temps, c'est-à-dire à mettre l'humain face à son avenir. Car ni les équations de la physique ni les poèmes de Rilke ou de Hölderlin et des autres ne peuvent répondre à la vraie question, non pas "qui suis-je ?", mais que vais-je devenir ?

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Epistemologie des mathematiques

13 Novembre 2014 , Rédigé par jeanbaudet.over-blog.com Publié dans #Mathématiques, #Philosophie

J'ai consacré 3 livres aux mathématiques.

Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques

Vuibert, Paris, IV + 332 pages, 2002

Mathématique et vérité

L'Harmattan, Paris, 180 pages, 2005

Histoire des mathématiques

Vuibert, VI + 346 pages, 2014.

Mon "Histoire" de 2014 est une réédition totalement refondue de mon "Nouvel Abrégé". J'y montre que la pensée mathématique apparaît en Grèce avec la pratique de la démonstration conduisant à des propositions apodictiques relatives soit aux nombres soit aux figures. Les soi-disant "mathématiques" des Egyptiens, des Babyloniens et d'autres peuples archaïques ne sont que des connaissances empiriques et banales sur l'énumération, les calculs simples, la nomenclature des formes... J'ai tenté de montrer dans mes livres comment la pensée mathématique progresse, à partir des trois notions primitives de cardinal, d'ordinal et de forme, par négation (retournement) et par généralisation (continuation). Chez les Grecs apparaissent successivement la géométrie (Thalès), l'arithmétique (Pythagore), la logique (Aristote), l'axiomatique (Euclide), les calculs d'infini à la base de l'analyse (Archimède) et l'algèbre (Diophante). La métaphore de la marche (en arrière - négation - et en avant - généralisation) convient évidemment (isomorphisme) à la description de l'esprit en mouvement (Hegel s'en souviendra).

Dans "Mathématique et vérité" je tente un examen "ontologique" du nombre, en montrant l'origine empirique de la contrainte logique. J'examine aussi la fameuse crise des fondements vers 1900, qui s'achève par le logicisme de Russell et Whitehead. Cette étude révèle notamment l'impossibilité de construire une épistémologie sans ontologie préalable, complétée par l'impossibilité de construire une ontologie sans épistémologie aboutie ! Ce "cercle philosophique" est à la base du caractère d'être-pour-l'ignorance de l'esprit humain. Il montre aussi que les mathématiques (noyau dur du rationalisme) sont adéquates pour décrire non pas tous les mondes "possibles", mais au moins tous les mondes "pensables".

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Mathematiques : de l'histoire a l'epistemologie

28 Août 2014 , Rédigé par jeanbaudet.over-blog.com Publié dans #Mathématiques, #Epistémologie

Ma réflexion philosophique sur les mathématiques a pour origine la "découverte" épistémologique d'Emmanuel Kant qui, dans sa célèbre "Critique de la raison pure", met en évidence que l'espace et le temps sont les formes de la sensibiité, lieu de la connexion cognitive entre le Sujet et l'Objet (l'Objet phénoménal, bien entendu). Il m'a suffi de comprendre que l'étude de l'espace est la Géométrie et que l'étude du temps (c'est-à-dire de la succession : un, deux, trois...) est l'Arithmétique pour prendre conscience que le problème-clé de la question de la Connaissance se trouve dans la "valeur des mathématiques" et pour entreprendre une étude d'épistémologie historique de la pensée mathématicienne, jalonnée par trois ouvrages principaux : "Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques" (2002), "Mathématique et vérité" (2005), "Histoire des mathématiques" (2014).

Mon dernier livre (Vuibert, Paris, VI+346 pages) montre notamment comment l'Humanité (c'est-à-dire en réalité quelques centaines d'Européens pendant 26 siècles), partie des premières réflexions non utilitaires de Thalès et de Pythagore, est arrivée à produire un immense corps de connaissance unifié ("la" Mathématique formée de la Topologie et de l'Algèbre), extensions de la Logique d'Aristote). La "valeur" de cette construction se confirme chaque jour dans les innombrables résultats de la "STI" (science-technique-industrie), qu'il s'agisse d'un calcul astronomique, des équations d'un ingénieur qui mènent à une nouvelle machine, ou de la comptabilité d'une entreprise. Le Réel (phénoménal) est bien enfermé dans les déterminations mathématiques de l'Espace et du Temps, et la mathématique est bien le "langage de l'objet". Quant au Réel nouménal, s'il existe, Kant nous a expliqué longuement et subtilement qu'il est inaccessible à l'esprit humain (en 1781). Malgré tous mes efforts (et j'ai, par rapport à Kant, les immenses acquis des philosophes depuis 1781...), je n'ai pas encore trouvé de moyens adéquats pour accéder à la connaissance du Noumène. Mais je continue à chercher. J'ai appris à mettre en équations les propriétés du Triangle, les caractéristiques des machines électriques, le comportement des êtres vivants (avec le Belge Prigogine), l'âge de l'Univers (avec le Belge Lemaître), et même (mais avec bien des incertitudes) les fluctuations de l'indice des Américains Charles Dow et Edward Jones. Quand je serai parvenu à mettre en équations la Sainte Trinité, la date du Jugement Dernier et le Socialisme, je préviendrai...

Pour info :        

Librairie Filigranes (Bruxelles), extrait d'une conférence sur l'histoire des sciences : 

www.youtube.com/watch?v=HZNSrBg25XQ

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Histoire des mathematiques

30 Juin 2014 , Rédigé par jeanbaudet.over-blog.com Publié dans #Mathématiques, #Histoire

Je viens de recevoir les exemplaires d'auteur de mon dernier livre : Histoire des mathématiques, qui vient de paraître chez Vuibert, à Paris (VI+346 pages). Ce volume est beaucoup plus qu'une simple réédition "revue et corrigée" de mon Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques, paru chez le même éditeur en 2002 (douze ans, déjà !). En effet, j'ai complètement refondu la rédaction de cet ouvrage, de manière à tenir compte de nouvelles lectures et de l'avancée de mon travail épistémologique (voir notamment mon livre de 2005 : Mathématique et vérité - Une philosophie du nombre, L'Harmattan, Paris).

J'étudie l'apparition (déjà à la Préhistoire), le développement et les extraordinaires acquis de la pensée mathématique tout au long de l'Histoire, c'est-à-dire de la méditation sur les nombres (arithmétique) et sur les formes (géométrie), jusqu'au XXème siècle quand, grâce aux travaux notamment de Bertrand Russel et de Nicolas Bourbaki, "les" mathématiques ne forment plus que "une" mathématique. J'identifie ainsi, dans une réflexion plus épistémologique qu'historienne, la mathématique comme le langage de la raison, comme un des critères de la scientificité, et à vrai dire comme l'ossature de la civilisation occidentale.

Mais en m'efforçant de comprendre (et donc d'expliquer) comment a progressé l'étude des nombres et des figures, avec notamment l'invention de l'algèbre par Diophante ou la création de la logique symbolique par George Boole, je suis obligé d'aller aux notions les plus radicales du travail mathématicien, et je fournis ainsi comme une "introduction à la mathématique" pour tous ceux - enseignants, enseignés, curieux... - qui éprouvent quelque difficulté à pénétrer dans le monde des algèbres et des topologies. Ainsi, faisant en somme d'une pierre deux coups, je donne à la fois un manuel d'épistémologie mathématique pour les savants confirmés et un ouvrage d'initiation pour les débutants.

Mon Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques ayant été fort bien accueilli tant par le grand public que par le public restreint des mathématiciens et des philosophes des sciences, j'espère évidemment un même accueil pour un livre qui me semble "amélioré". J'ai en tout cas reçu souvent des témoignages de lecteurs qui m'ont confirmé une idée toute simple : on comprend plus facilement les maths quand on les aborde dans l'ordre même de leur constitution historique : les maths "préhistoriques" sont plus simples que les maths des Grecs, et la mathématique d'Euclide et d'Archimède est plus simple que celle de Descartes ou de Newton.

Mon nouveau livre devrait se trouver chez les bons libraires dans les prochains jours.

Pour info :        

Librairie Filigranes (Bruxelles), extrait d'une conférence sur l'histoire des sciences : 

www.youtube.com/watch?v=HZNSrBg25XQ

Télé Bruxelles, interview sur ma philosophie :  

www.telebruxelles.net/portail/emissions/magazines-a-voir-en-ligne/rencontre/21416-041012-jean-baudet

Canal C (Namur), interview sur mes travaux sur l'invention technique :  

www.canalc.be/index.php?option=com_content&view=article&id=100001595:entree-libre-de-jean-baudet-&catid=114:entree-libre&Itemid=56

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Histoire des maths

28 Mai 2012 , Rédigé par jeanbaudet.over-blog.com Publié dans #Mathématiques, #Histoire

Hist-Maths.jpgPourquoi ai-je publié une histoire des maths, qui s'intitule - d'ailleurs assez bizarrement - Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques ? Toujours disponible chez les bons libraires de France et d'ailleurs, ayant fait l'objet de plusieurs nouveaux tirages par les éditions Vuibert. Pourquoi, en effet ? Parce qu'il s'agissait d'entamer (c'était en 2002, et même avant puisque je crois me souvenir que la rédaction a commencé en 1997 ou 1998) une histoire de la pensée scientifique, depuis la Préhistoire jusqu'à la fin du XXe siècle, et qu'il m'avait semblé que la mathématique, étant le langage de toutes les disciplines intellectuelles pouvant se présenter comme "sciences", il fallait l'étudier d'abord. Le fait est que l'histoire des maths coïncide en grande partie avec l'histoire de la raison, ou plus exactement de la raison se limitant à l'étude du raisonnable - car est-il raisonnable d'entreprendre la magique étude du coeur - sauf à compter ses battements - ou de l'esprit - sauf à tenter d'évaluer ses calculs ?

 

J'ai ainsi pu reconstituer, d'une manière que je crois assez "valable" (il y a une part d'hypothèse dans toute histoire), la double aventure intellectuelle (et pour certains extatique) de la découverte des formes (géométrie) et de la compréhension des nombres (arithmétique). Restait alors à explorer comment la mathématique - c'est-à-dire la connaissance des figures et des quantités - allait nourrir la technique (qui deviendra technologie), la physique et la chimie, et finalement la biologie (devenue moléculaire). L'explication de l'outil, du monde, de la matière et de la vie par la pensée quantitative. La qualité révélée par les quantités. Et si l'on se souvient que la musique et la poésie sont, d'abord, du rythme...

 

Au cours de l'histoire, c'est quand la raison se limite elle-même qu'elle devient efficace, et j'en donne cent exemples dans mes livres d'histoire de la science. Quand on veut tout savoir, on risque bien de ne savoir rien. C'est bien montré par L'Etre et le Néant de Sartre, plus instructif par ses petits riens que par ses grandes phrases.

 

Bien sûr, la vérité "scientifique" est désolante et décevante. Mais, jusqu'à présent, depuis le Poème de la Création (sumérien) jusqu'aux vociférations de l'imam de mon quartier, je n'en ai pas trouvé d'autre. Mais je cherche. Je dirai quoi, quand j'aurai trouvé.

 

Pour info, deux vidéos :

Canal C (Namur)

www.canalc.be/index.php?option=com_content&view=article&id=100001595:entree-libre-de-jean-baudet-&catid=114:entree-libre&Itemid=56

 

 

Librairie Filigranes (Bruxelles)

www.youtube.com/watch?v=HZNSrBg25XQ

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